स्तम्भ 5 और 6 समान हैं — अतः $(p\Rightarrow q)\wedge(q\Rightarrow p)\equiv p\Leftrightarrow q$। $\blacksquare$

मूल कथन: $\forall\varepsilon>0\;\;\exists\,\delta>0\;\;P(\varepsilon,\delta)$।

चरण 1 — Quantifiers बदलें (De Morgan दो बार):
$\exists\,\varepsilon>0\;\;\forall\delta>0\;\;\neg P$।

चरण 2 — Implication का निषेध $(\neg(A\Rightarrow B)\equiv A\wedge\neg B)$:
$\neg P\equiv\lvert x-a\rvert<\delta\;\wedge\;\lvert f(x)-L\rvert\geq\varepsilon$।

पूर्ण निषेध: "कोई $\varepsilon>0$ है ऐसा कि प्रत्येक $\delta>0$ के लिए कोई $x$ है जिसके लिए $\lvert x-a\rvert<\delta$ और $\lvert f(x)-L\rvert\geq\varepsilon$।" (यही $\lim_{x\to a}f(x)\neq L$ की परिभाषा है।) $\blacksquare$

आधार चरण $(n=1)$: बायाँ पक्ष $=1$। दायाँ पक्ष $=\dfrac{1\cdot2\cdot3}{6}=1$। $\checkmark$

आगमनिक चरण: माना $\sum_{k=1}^{m}k^2=\dfrac{m(m+1)(2m+1)}{6}$ (Inductive Hypothesis)। तब:

$$\sum_{k=1}^{m+1}k^2=\frac{m(m+1)(2m+1)}{6}+(m+1)^2=\frac{(m+1)\bigl[m(2m+1)+6(m+1)\bigr]}{6}$$

$$=\frac{(m+1)(2m^2+7m+6)}{6}=\frac{(m+1)(m+2)(2m+3)}{6}$$

जो $n=m+1$ के लिए सूत्र है। Mathematical Induction द्वारा सभी $n\in\mathbb{N}$ के लिए सिद्ध। $\blacksquare$

विधि (i) — Mathematical Induction।

आधार $(n=1)$: $1-1=0=6\cdot0$। $\checkmark$

आगमनिक चरण: माना $6\mid k^3-k$। तब $(k+1)^3-(k+1)=(k^3-k)+3k(k+1)$। Hypothesis से $6\mid(k^3-k)$। $k,k+1$ में से एक सम है इसलिए $2\mid k(k+1)$, अतः $6\mid 3k(k+1)$। अतः $6\mid(k+1)^3-(k+1)$। $\checkmark$

विधि (ii) — प्रत्यक्ष गुणनखण्ड।

$n^3-n=(n-1)\,n\,(n+1)$ — तीन क्रमागत पूर्णांकों का गुणनफल। इनमें $2$ का और $3$ का गुणज अवश्य होता है, अतः गुणनफल $\text{lcm}(2,3)=6$ से विभाज्य है। $\blacksquare$