Supremum और Infimum के गुणधर्म
Supremum का अस्तित्व जानना नींव है; उसका व्यवहार जानना उसे उपयोगी बनाता है। यह पोस्ट Supremum और Infimum के सात मुख्य गुणधर्मों को विकसित करती है — जो CSIR NET, GATE और IIT JAM के प्रमाणों में बार-बार प्रकट होते हैं।
सात मुख्य गुणधर्म
माना $A, B \subseteq \mathbb{R}$ non-empty और $A \subseteq B$, $B$ ऊपर से bounded। तब $$\sup A \leq \sup B.$$ द्वैत: $B$ नीचे से bounded हो तो $\inf B \leq \inf A$।
प्रमाण संकेत। $B$ का हर upper bound $A$ का भी upper bound है (क्योंकि $A \subseteq B$), अतः $A$ का least upper bound $B$ के least upper bound से अधिक नहीं हो सकता। $\square$
नीचे से bounded non-empty $E \subseteq \mathbb{R}$ के लिए: $$\inf E = -\sup(-E), \qquad \text{जहाँ } {-E} = \{-x : x \in E\}.$$ समतुल्य रूप से $\sup E = -\inf(-E)$ जब $E$ ऊपर से bounded हो।
प्रमाण संकेत। $b$ $E$ का lower bound है यदि और केवल यदि $-b$ $(-E)$ का upper bound है; अतः $E$ का greatest lower bound $(-E)$ के least upper bound का ऋणात्मक है। $\square$
माना $A, B \subseteq \mathbb{R}$ non-empty और ऊपर से bounded। तब $$\sup(A \cup B) = \max(\sup A,\, \sup B).$$ द्वैत: $\inf(A \cup B) = \min(\inf A, \inf B)$ जब दोनों नीचे से bounded हों।
प्रमाण संकेत। $M = \max(\sup A, \sup B)$ रखें। $A \cup B$ का हर तत्व $A$ या $B$ में है, अतः $\leq M$। $\varepsilon > 0$ के लिए: यदि $\sup A = M$ हो तो $a \in A$ मिलेगा जिसके लिए $a > M - \varepsilon$; अतः $M = \sup(A \cup B)$। $\square$
माना $A, B \subseteq \mathbb{R}$ non-empty और ऊपर से bounded। $A + B = \{a + b : a \in A,\, b \in B\}$ परिभाषित करें। तब $$\sup(A + B) = \sup A + \sup B.$$ द्वैत: $\inf(A + B) = \inf A + \inf B$ जब दोनों नीचे से bounded हों।
प्रमाण संकेत। सभी $a \in A$, $b \in B$: $a + b \leq \sup A + \sup B$। $\varepsilon > 0$ के लिए $a > \sup A - \varepsilon/2$ और $b > \sup B - \varepsilon/2$ चुनें; तब $a + b > \sup A + \sup B - \varepsilon$। $\square$
माना $E \subseteq \mathbb{R}$ non-empty, bounded; $c \in \mathbb{R}$। $cE = \{cx : x \in E\}$ परिभाषित करें। तब: $$\sup(cE) = \begin{cases} c \cdot \sup E & \text{यदि } c > 0, \\ c \cdot \inf E & \text{यदि } c < 0, \\ 0 & \text{यदि } c = 0. \end{cases}$$
महत्त्वपूर्ण बात। $c < 0$ होने पर गुणन से क्रम उलट जाता है, इसलिए $\sup(cE) = c \cdot \inf E$ होता है — $c \cdot \sup E$ नहीं।
माना $E \subseteq \mathbb{R}$ non-empty और ऊपर से bounded। तब प्रत्येक $\varepsilon > 0$ के लिए कोई $x_0 \in E$ होता है जिसके लिए $$\sup E - \varepsilon < x_0 \leq \sup E.$$ विशेष रूप से यदि $\sup E \notin E$ हो तो $\sup E - \varepsilon < x_0 < \sup E$।
यह supremum का ε-characterisation ही है, अस्तित्व कथन के रूप में पुनः लिखा गया — यह analysis के लगभग हर convergence और continuity प्रमाण का आधार है।
यदि $A_1 \subseteq A_2 \subseteq A_3 \subseteq \cdots$ non-empty bounded sets हों, तो $$\sup\!\left(\bigcup_{n=1}^{\infty} A_n\right) = \lim_{n \to \infty} \sup A_n = \sup_{n \geq 1} \sup A_n.$$
प्रमाण संकेत। Monotonicity (P1) से $\sup A_n$ non-decreasing है। $\bigcup A_n$ में हर $A_n$ है, अतः उसका supremum $\sup A_n$ से कम नहीं; और $\bigcup A_n$ के हर तत्व का bound $\sup_n \sup A_n$ है। $\square$
Rudin, Principles of Mathematical Analysis, 3rd Ed., Ch. 1, §1.7–§1.11
Bartle & Sherbert, Introduction to Real Analysis, 4th Ed., Ch. 2, §2.3–§2.4
→ Bounds and Extrema of Sets — upper/lower bounds और Completeness Axiom
→ Computing Suprema and Infima: Standard Techniques — ε-characterisation विधि
→ Order Relations and Ordered Sets — Ordered Field axioms
अंतर्ज्ञान, ऐतिहासिक संदर्भ और चित्र
ये सात गुणधर्म अलग-थलग तथ्य नहीं हैं — ये मिलकर एक extrema का बीजगणित बनाते हैं। P1–P2 क्रम सम्बन्धित हैं; P3–P5 समुच्चय संक्रियाओं से सम्बन्धित हैं; P6 हर limit तर्क का precision tool है; P7 इस framework को अनंत संग्रहों तक विस्तारित करता है।
"एक गणितज्ञ जो कुछ हद तक कवि नहीं है, कभी पूर्ण गणितज्ञ नहीं बन सकता।"
— Karl Weierstrass
1860 का संकट। Weierstrass से पहले, गणितज्ञ यह मानते थे कि closed interval पर continuous function अपना maximum प्राप्त करता है — परंतु यह geometric intuition पर आधारित था। Weierstrass पहले व्यक्ति थे जिन्होंने इसे एक शुद्ध अंकगणितीय प्रमाण से सिद्ध किया — ठीक P1 और P6 का उपयोग करते हुए। इस 1861 की खोज ने Analysis के Arithmetisation का आरम्भ किया।
संघ का supremum सूत्र (P3) स्पष्ट लगता है, परंतु इसका कठोर प्रमाण ε-characterisation की माँग करता है। Cauchy ने इसे बिना प्रमाण के उपयोग किया था; Weierstrass के शिष्य Heine ने 1872 में इसे uniform continuity के संदर्भ में पहली बार स्पष्ट रूप से कहा।
चित्र: $\sup(A \cup B) = \max(\sup A, \sup B)$ और $\inf(A \cup B) = \min(\inf A, \inf B)$। यहाँ $\sup B > \sup A$ और $\inf A < \inf B$ है।
हल किए गए उदाहरण
1सरल — गुणधर्म 1 और 3
माना $A = (0, 2)$ और $B = [1, 4]$। $\sup(A \cup B)$, $\inf(A \cup B)$, $\sup(A \cap B)$ और $\inf(A \cap B)$ ज्ञात करें।
चरण 1 — समुच्चय पहचानें। $A \cup B = (0, 4]$; $\quad A \cap B = [1, 2)$।
चरण 2 — संघ का Supremum। $\sup A = 2$, $\sup B = 4$। P3 से: $\sup(A \cup B) = \max(2, 4) = 4$। $4 \in B \subseteq A \cup B$, अतः प्राप्त। ✓
चरण 3 — संघ का Infimum। $\inf A = 0$, $\inf B = 1$। P3 से: $\inf(A \cup B) = \min(0, 1) = 0$। $0 \notin A \cup B$, अतः प्राप्त नहीं।
चरण 4 — प्रतिच्छेद। $\sup(A \cap B) = \sup[1,2) = 2 \notin A \cap B$; $\quad \inf(A \cap B) = 1 \in A \cap B$।
ध्यान दें: P1 से $\sup(A \cap B) \leq \min(\sup A, \sup B) = 2$।
2मध्यम — गुणधर्म 4 (योग समुच्चय)
माना $A = \left\{\dfrac{1}{n} : n \in \mathbb{N}\right\}$ और $B = \left\{1 - \dfrac{1}{n} : n \in \mathbb{N}\right\}$। $\sup(A+B)$ ज्ञात करें।
चरण 1 — sup A और sup B। $\sup A = 1$ (प्राप्त, $n=1$ पर)। $B$ के लिए: $1 - \frac{1}{n} \nearrow 1$, अतः $\sup B = 1$ (प्राप्त नहीं)।
चरण 2 — P4 लागू करें। $\sup(A + B) = \sup A + \sup B = 1 + 1 = 2$।
चरण 3 — सत्यापन। हर $a+b = \frac{1}{m} + 1 - \frac{1}{n} \leq 2$। $\varepsilon > 0$ के लिए $m=1$ ($a=1$) और $n$ बड़ा चुनें जिससे $b > 1 - \varepsilon$; तब $a+b > 2-\varepsilon$। ✓
3मध्यम-कठिन — गुणधर्म 5 (Scalar गुणन)
माना $E = \left\{\dfrac{n}{n+1} : n \in \mathbb{N}\right\}$। $\sup(-3E)$ और $\inf(-3E)$ ज्ञात करें।
चरण 1 — E के sup और inf। पिछली पोस्ट से: $\sup E = 1$ (प्राप्त नहीं), $\inf E = \frac{1}{2}$ ($n=1$ पर प्राप्त)।
चरण 2 — P5 लागू करें ($c = -3 < 0$)। $$\sup(-3E) = (-3)\cdot\inf E = -3 \cdot \tfrac{1}{2} = -\tfrac{3}{2}.$$ $$\inf(-3E) = (-3)\cdot\sup E = -3 \cdot 1 = -3.$$
चरण 3 — सत्यापन। $-3E = \left\{-\frac{3n}{n+1}\right\}$ में $n=1$ पर $-\frac{3}{2}$ (maximum, प्राप्त) और $n \to \infty$ पर $-3$ (infimum, प्राप्त नहीं)। ✓
4कठिन — CSIR NET स्तर
माना $A$ और $B$ non-empty bounded subsets of $\mathbb{R}$ हों, जहाँ प्रत्येक $a \in A$ और $b \in B$ के लिए $a \leq b$। सिद्ध करें कि $\sup A \leq \inf B$।
चरण 1 — $b \in B$ fix करें। सभी $a \in A$ के लिए $a \leq b$, अतः $b$ एक upper bound है $A$ का। $\sup A$ least upper bound है, इसलिए $\sup A \leq b$।
चरण 2 — निष्कर्ष। हमने दिखाया कि $\sup A \leq b$ प्रत्येक $b \in B$ के लिए। अतः $\sup A$ एक lower bound है $B$ का। $\inf B$ greatest lower bound है, इसलिए $\sup A \leq \inf B$। $\square$
त्वरित पुनरावृत्ति कार्ड
A — क्रम गुणधर्म
P1 एकदिशता: $A \subseteq B \Rightarrow \sup A \leq \sup B$
P2 नकारात्मकता: $\inf E = -\sup(-E)$
P7 Nested संघ: $\sup\!\bigcup A_n = \sup_n \sup A_n$
B — समुच्चय संक्रिया गुणधर्म
P3 संघ: $\sup(A\cup B) = \max(\sup A, \sup B)$
P4 योग: $\sup(A+B) = \sup A + \sup B$
P5 Scalar: $c>0$: $\sup(cE) = c\sup E$
$c<0$: $\sup(cE) = c\inf E$
C — Approximation और परीक्षा युक्तियाँ
P6: $\forall\varepsilon>0,\;\exists x_0\in E: x_0 > \sup E - \varepsilon$
🔵 CSIR NET: $\sup A \leq \inf B$ परिणाम
🟢 GATE: scalar गुणन में चिह्न परिवर्तन
🟠 IIT JAM: संघ का supremum सूत्र
🔴 B.Sc.: नकारात्मकता सूत्र का प्रमाण
सामान्य भूलें
1. Scalar गुणन में गलत चिह्न। $c < 0$ होने पर $\sup(cE) = c \cdot \sup E$ लिखना गलत है। सही: $\sup(cE) = c \cdot \inf E$, क्योंकि ऋणात्मक गुणन से क्रम उलटता है।
2. $\sup(A \cap B) = \min(\sup A, \sup B)$ मान लेना। यह सामान्यतः असत्य है। सही परिणाम केवल असमानता है: $\sup(A \cap B) \leq \min(\sup A, \sup B)$।
3. अनंत संघ में लापरवाही। $\sup\!\bigcup_{n=1}^\infty A_n = \sup_n \sup A_n$ तब सही है जब सभी $A_n$ non-empty हों और दायाँ पक्ष परिमित हो।
4. नकारात्मकता सूत्र में $-E$ भूल जाना। $\inf E = -\sup(-E)$ में $-E$ लिखना आवश्यक है — $-\sup(E)$ नहीं।
वास्तविक जीवन में उपयोग
Weierstrass का EVT P6 (Approximation) का उपयोग करके $\sup f([a,b])$ की ओर जाने वाला अनुक्रम बनाता है, फिर Bolzano–Weierstrass से supremum attained होना सिद्ध करता है।
Darboux की परिभाषा P3 और P4 उपयोग करती है: upper integral $= \inf_P U(f,P)$ और $U(f,P) = \sum_i \sup_{[x_{i-1},x_i]} f \cdot \Delta x_i$।
Game theory का min-max theorem $\sup_x \inf_y f(x,y) \leq \inf_y \sup_x f(x,y)$ उपयोग करता है — P1 का सीधा परिणाम।
$\text{ess\,sup}\, f$ — सभी $M$ का infimum जिनके लिए $f \leq M$ a.e. — P6 का measurable functions पर सामान्यीकरण है।
सारांश तालिका
| गुणधर्म | कथन | शर्त | संदर्भ |
|---|---|---|---|
| P1 एकदिशता | $A\subseteq B \Rightarrow \sup A \leq \sup B$ | $B$ bounded above | Rudin §1.9 |
| P2 नकारात्मकता | $\inf E = -\sup(-E)$ | $E$ bounded below | Bartle §2.3 |
| P3 संघ | $\sup(A\cup B)=\max(\sup A,\sup B)$ | दोनों bounded above | Bartle §2.4 |
| P4 योग | $\sup(A+B)=\sup A+\sup B$ | दोनों bounded above | Bartle §2.4 |
| P5 Scalar | $c>0$: $c\sup E$; $c<0$: $c\inf E$ | $E$ bounded | Standard |
| P6 Approximation | $\forall\varepsilon>0\;\exists x_0\in E: x_0>\sup E-\varepsilon$ | $E$ bounded above | Rudin §1.11 |
| P7 Nested | $\sup\bigcup A_n = \sup_n\sup A_n$ | $A_1\subseteq A_2\subseteq\cdots$ | Standard |
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